«Я арендую квартиру. Живу в ней уже полгода. Кто должен переписываться по этому адресу — владелец квартиры или я?»

Конечно, вы. Учитывается население по месту постоянного проживания на момент переписи — 0 часов 1 апреля 2021 года.

Кому принадлежит квартира и кто в ней прописан, не имеет значения.

Переписывайтесь там, где живете. Так же пусть сделает и владелец квартиры.